HSA.REI.C.9 Tutor Intake — Matrix Inverses

Which of the following is the defining property of a matrix inverse $A^{-1}$?

A student wants to solve $Ax = b$ using the matrix inverse.
They write: $x = bA^{-1}$.

What is wrong with this?

A $2 \times 2$ matrix $A$ has determinant $\det(A) = 0$.

What can you conclude about the system $Ax = b$?

For $A = \begin{bmatrix}3 & 1\\2 & 1\end{bmatrix}$, compute $\det(A)$.

$\det(A) = ad - bc = 3($   ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲   $) - 1(2) = $   ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲  

Using the formula $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{bmatrix}d & -b\\-c & a\end{bmatrix}$,
find $A^{-1}$ for $A = \begin{bmatrix}3 & 1\\2 & 1\end{bmatrix}$
(where $\det(A) = 1$).

A^{-1} = \begin{bmatrix}   ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲   &   ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲   $\  ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲   &  ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲   \end{bmatrix}$